（本年の入試の面白い問題を紹介します。） （２００７年１月２６日更新）
解き方
６４より小さいので、その奇数を６４−□と表します。
この数に３をかけると次のようになります。
（６４−□）×３
＝６４×３−□×３
この数を６４で割ると、余りが１
ということは、あと６３大きければ６４で割り切れる。
つまり
□×３＝６３
と言えます。
だから、□＝２１
つまりこの奇数は
６４−２１＝４３
である。
答え ４３
今年もこうした「数の性質」の問題があちこちで出題されています。
２００７年にからめた出題もありました。
解き方
（１） ４で割った余りによる分類ですから、
下のような表を作って考えれば良いですね。
２００７÷４＝５０１・・・３
ですから、２００７は「余りが３」の列に入っています。
そこで、次のような表ができます。
５０１
下の方のグループ番号（行番号）は、先ほどの式の商で分かりますね。
念のために、２００４÷４＝５０１と計算しても確認できます。
「余りが１」の列（たての並び）に含まれる数についてはすべて【】＝１ですから
【１】＋【５】＋【９】＋【１３】＋・・・・・＋【２００１】＋【２００５】＝１×５０２
同様に
「余りが２」の列については
【２】＋【６】＋【１０】＋【１４】＋・・・・・＋【２００２】＋【２００６】＝２×５０２
「余りが３」の列については
【３】＋【７】＋【１１】＋【１５】＋・・・・・＋【２００３】＋【２００７】＝３×５０２
「余り０（割り切れる）」の列については【】＝０ですから考える必要はないですね。
これらを全部足せば、【１】＋【２】＋【３】＋・・・・・＋【２００７】が求められます。
１×５０２＋２×５０２＋３×５０２＝（１＋２＋３）×５０２＝３０１２
答え ３０１２
（２） （１）と同じような表を作って考えれば良いのですが、（１）である程度わかってきているので、まずは計算だけでいけますね。
２００７÷（１＋２＋３）＝３３４・・・３
この余りの３が何を意味するのか間違えないように！
余りの和が３という意味ですから、３＝１＋２
つまり最後の数は「余りが２」の数ということです。
そして、商が３３４ですから、この数は３３５番目のグループ（行）の数ということです。
下の表のようにまとめられます。
３３４
Ｎ＝４×３３４＝１３３６
ですから
Ａ＝１３３６＋２＝１３３８
答え １３３８
次も２００７にからめた「数の性質」の問題です。
解き方
やはり灘です。ひと味違います。
灘を始め、上位校は、その場でのひらめきや、根気を必要とする問題をよく出します。
これも特に何かを知らないとできないという問題ではないですね。
ただし、素因数分解などの基礎知識は必須です。
２７＝３×３×３
８１＝３×３×３×３
要は、３で３回まで割れる数を探すということです。
やはり順番に割っていくのが早道でしょう。
２０７÷３＝６９
６９÷３＝２３
つまり２０７＝３×３×２３
同様に
２００７＝３×３×２２３
２０００７＝３×３×３×３×２４７
２００００７＝３×３×２２２２３
２０００００７＝３×３×２２２２２３
２００００００７＝３×３×３×７４０７４１
念のために言っておきますが
各位の数字を足して３で割れなければ３の倍数ではありません。
ですから、７４０７４１はもう３で割り切れないと分かります。
以上より、３で３回だけ割れる最小の数は２００００００７です。
答え ２００００００７
「数の性質」は大事な単元です。
もう少し基本的なものも復習しておきましょう。
次も、２００７に関連づけた問題です。
解き方
これはよくある問題ですから、詳しい解説をしなくてもできる人も多いでしょう。
この９つの数の最小のものと最大のものの差が８ですから
最小の数に８を足し、その次の数に７を足し、と順に一つずつ小さくなる数を足していけば
最大の数と同じものが９つできあがります。
（線分図を書くと分かりやすい。）
そして、その合計は、はじめの合計（２００７）に
１から８までの合計を足したものになります。
１から８までの合計は（１＋８）×８÷２＝３６
つまり
２００７＋３６＝２０４３が、最大の数の９つ分ということです。
よって、
２０４３÷９＝２２７
答え ２２７
「数の性質」は大事な単元です。今年も各校で様々な出題がされるでしょう。
以上の４問の解説をしっかり理解しておいてください。
次は、やはり定番とも言える、水のやりとりの問題です。
ただし、始めの量が明示されていないところが新鮮です。
開智中
A、B、Cの容器にはそれぞれ水が入っていて、水の量が少ないほうから順に並べると1リットルずつの差になっています。
今、Aに入っている水の量の1/5をBに移し、その後Bに入っている水の量の1/5をCに移したところ、水の量が少ないほうから順にA、B Cとなり、AとB、BとCの差は、ともに4リットルとなりました。
このとき、次の問いに答えなさい。
(1) Bに入っている水の量はどれぐらい変化しましたか。
増えた場合は「何リットル増えた」、減った場合は「何リットル減った」、変わらない場合は「変わらない」、と答えなさい。
(2) 最初にA、B、Cの容器に入っていた水の量はそれぞれ何リットルですか。考えられるすべての場合について書きなさい。
解き方
こうした問題は、最後から逆にたどった方が楽です。
最後のＡの量を［４］リットルとおくと
（なぜ［４］かと言うと、始めの状態から1/5減っただけだからです。）
最後のＢの量は［４］リットル＋４リットル
最後のＣの量は［４］リットル＋８リットル
Ｂは1/5をＣに移したために［４］リットル＋４リットルとなったので
移す前は［５］リットル＋５リットル、移した量は［１］リットル＋１リットルと分かります。
ＣはＢから［１］リットル＋１リットルをもらったために［４］リットル＋８リットルとなったので
もらう前、すなわち始めは［３］リットル＋７リットルと分かります。
これらをまとめると、下のような流れになります。
A
B
（１）上の表より、１リットル減ったとわかる。
答え １リットル減った
（２）水の総量は［１２］＋１２なので、平均、つまり、この場合だと、始めも最後も差が等間隔なので
真ん中の容器の水量は［４］＋４と言えます。
だから、始めでは、Ｂが１番多いと分かります。
（Ｂは［４］＋５だから、（平均、すなわち）真ん中の量より１リットル多いと言えます。）
２番目がＡの時 ［５］＝［４］＋４なので、［１］＝４
（Ａ、Ｂ、Ｃ）＝（２０、２１、１９）
２番目がＣの時 ［３］＋７＝［４］＋４なので、［１］＝３
（Ａ、Ｂ、Ｃ）＝（１５、１７、１６）
答え （Ａ、Ｂ、Ｃ）＝（２０、２１、１９）と（Ａ、Ｂ、Ｃ）＝（１５、１７、１６）
以上、簡単に、今年の入試問題を解説しました。
これからの入試対策に少しでも役立てばと思っています。
◎当塾の指導方針は、とにかく分かりやすくと言うことです。それが個別指導の価値です。
◎また、様々な別解のストックもあります。お子さんに合う解法が示せると思います。
◎集団塾のフォローの場合は、なるべく集団塾で習ってきたやり方を生かすようにしますが、
場合によっては、こんな方法もあるよという形で、別解を指導することもあります。
（ただし、あくまでお子さんの力を伸ばすのが目的ですから、混乱させるようなことがないよう万全の配慮をします。）
