（本年の入試の面白い問題を紹介します。） （２００６年３月５日更新）
桜蔭中
９日間でマフラー、ぼうしを毛糸で編むことにしました。毛糸は足りなくならないように少し多めに買うことにしました。１玉４００円の毛糸Ａと１玉５００円の毛糸Ｂの両方を買いました。代金はちょうど５０００円でした。
マフラーを１本編むのに毛糸Ａではちょうど４玉必要で、毛糸Ｂではちょうど３玉必要です。ぼうしを１つ編むのに毛糸Ａではちょうど３玉、毛糸Ｂではちょうど２玉必要です。
毎日必ず毛糸Ａ、毛糸Ｂのどちらか１玉分編み、９日後、編みかけのものはないように作っていきました。また、１つの作品は毛糸Ａか毛糸Ｂのどちらか１種類の毛糸で編みました。
次の問いに答えなさい。（１）（２）とも考えられる組を解答らんにすべて書きなさい。解答らんは全部使うとは限りません。
（１） 毛糸Ａ、毛糸Ｂをそれぞれ何玉ずつ買いましたか。
（２） このときＡで編んだマフラー、Ｂで編んだマフラー、Ａで編んだぼうし、Ｂで編んだぼうしの個数はそれぞれ何個ずつですか。ただし、マフラーかぼうしのどちらかだけを編んでもよいこととします。
解き方
正直に言います。初めて読んだとき、すぐには何を言っているのかはっきりとはつかめませんでした。
やはり桜蔭ということで、こちらも構えてしまっていたのでしょうか。
段々意味が分かってきたとき、「エッ、そんな簡単なことを聞いてたの！？」と思ってしまいました。
だって、単純な足し算の問題だからです。
しいて言えば、いわゆる「いもづる算」というのになるのでしょうか。
桜蔭は「いもづる算」が好きです。２００４年の３番もそうでした。
それに比べると、これは何て簡素な問題でしょう。でも問題全体は決して単純ではないですね。
考えさせるポイントは作ってあります。
私なんて、そもそも、問題の意味がすぐにはつかめなかったんですからね。（笑）
まず（１）から。
これは「いもづる算」の一番基本的な問題。
５０００円÷５００円＝１０玉（Ｂだけ買ったとした個数）
ところが両方買ったとあるから、これは駄目。
で、入れ替える。
５００円と４００円の最小公倍数は２０００円だから
Ｂを４個減らせばＡを５個増やせる。
だからまずＡ５玉Ｂ６玉が作れる。
Ｂはもう１回減らせるから
Ａ１０玉Ｂ２玉も作れる。
Ｂをこれ以上減らすことはできないので答えはこの２通り。次に（２）
これがまさに単純な足し算の問題ですね。
マフラーとぼうしのそれぞれに毛糸が何玉いるかまとめておきましょう。
毛糸Ａ 毛糸Ｂ マフラー ４玉 ３玉 ぼうし ３玉 ２玉 この他の条件もまとめておきましょう。
〔その１〕毎日必ずどちらか１玉分編む。
〔その２〕９日編む。編みかけはない。
〔その３〕一つの作品はどちらか１種類の毛糸で編む。要は、２とか３とか４とかをうまく足して、ちょうど９になるようにしていけば良いということです。
そう、単純な足し算の問題なんです。まず毛糸Ａを１０玉、毛糸Ｂを２玉買ったとき。
Ａで作れるのは３か４。
Ｂで作れるのは２だけ。
すると次のような足し算が考えられます。
Ｂが２だけなので、Ｂから考えると楽ですね。
Ｂ２玉（ぼうし）＋Ａ３玉（ぼうし）＋Ａ４玉（マフラー）
Ｂを使うときはこれしか出来ない。
次にＢを使わないときを考える。
Ａ３玉（ぼうし）＋Ａ３玉（ぼうし）＋Ａ３玉（ぼうし）
これしか無理ですね。次に毛糸Ａを５玉、毛糸Ｂを６玉買ったとき。
Ａで作れるのは３か４。
Ｂで作れるのは２か３。
今度はどれもありということですから、数の大きいＡから考えていきます。
Ａは３か４を１回しか作れませんね。だからＡから考えるのです。（こういうところが大事！）
まずＡ３のとき。Ｂは２＋２＋２か３＋３しか作れません。
次にＡ４のとき。Ｂは２＋３しか作れませんね。どうです。こうして見ると何て簡素な問題なんでしょう。
ただし、思いつきでダラダラ書き出しても漏れがあるかないかが分かりません。
だから、今説明した手順をしっかりマスターしてください。
どういう時に、どちらから考えるのか。これが大事です。
「いもづる算」と言うか、こうした書き出し系の問題は、上位校では必須です。
今年は開成でも似た発想の問題が出ていました。
まずこの桜蔭の問題をしっかり理解し、開成の問題にも挑戦してみてください。
開成の１番です。
開成の１番もただの足し算の問題でした。
それではその開成の１番に進みましょう。
開成中
１００円玉を投げて、着地したときに表の面がが出たら○を、裏の面が出たら×を記録することにします。
| １００円玉を投げて、その裏表に応じて○か×を、右の図のようなマス目に、左から順に書き入れます。このとき、次の決まりにしたがって点数が得られます。 |
|
（決まり１）○１つにつき、２点を得る。
（決まり２）×１つにつき、１点を得る。
（決まり３）「×のすぐ右どなりに○がある」場所が１か所あるごとに、３点ずつ得る。
| たとえば１００円玉を６回投げて、順に表・裏・表・表・表・裏が出たとすると、右の図のような○×の配列ができます。このとき、○が４つ、×が２つあり、「×のすぐ右どなりに○がある」場所が１か所あるので、得点は ２×４＋１×２＋３×１＝１３ で、１３点となります。 |
|
（１） 解答らんに、得点が１５点となるような○×の配列を、１つ書きなさい。
（２） 解答らんに、得点が１１点となるような○×の配列を、すべて書き出しなさい。ただし、解答らんはすべて使うとは限りません。
解き方
どうです、さっきの桜蔭の問題と似ているでしょう。表面的には違う問題のように見えますが、やること、考え方はほとんど同じです。偶然とは言え、面白いですね。
（１） ３つある決まりのどの場合も必ず点が得られますから、ただ足し算するだけです。開成って、こんなに親切な学校になったんですね。（笑）
全部○でも２×６＝１２で、１２点にしかなりませんから、１５点にするには（決まり３）も必要です。
ここで足し算の登場です。
２の倍数（決まり１の点数）＋１の倍数（決まり２の点数）＋３の倍数（決まり３の点数）＝１５
です。
ここで大事なのは、３点の個数は１点の個数以下ということです。これだけ守れば良いのですから、下のような表を作ってしまえば楽ですね。
（理由は分かりますよね。×がないと（決まり３）が使えませんからね。）
１つ書けば良いので、これ以上やる必要はありません。（ホッ）
つまり、○が３個、×が３個で、×○の並ぶ所が２か所あるような配列を書けば正解です。
×○×○○×
で良いですね。
他にも色々ありますが、どうすれば良いかのポイントは分かりましたね。
（１）でここまでやっておけば（２）は楽勝です。
ただし、油断してはいけません。今度は「すべて書き出しなさい」ですからね。
（２） （１）と同じような表を作って考えれば良いのですが、（１）である程度わかってきているので、もうあたりを付けていけば良いですね。
まず１１点ですから、当然×が入ります。
だから、まず×と○だけで何点ができるかを考えます。２×５＋１×１＝１１（あれ、いきなりピッタシカンカンです。（古い？））
２×４＋１×２＝１０（そう、１つ入れ替えるたびに１点ずつ下がりますね）
すると、１１－３＝８だから、なんだ２のＡ倍と１のＢ倍で８を作れば良いんだと分かります。
勿論Ａ＋Ｂ＝６は忘れないように。
３回入れ替えれば良いので、２×２＋１×４ですね。勿論答えは８になりますね。
ついでですから１１－６＝５も考えておきましょう。
さらに３回入れ替えれば良いので、２×
あれ、もう入れ替えられませんでした。ということで、２つのケースしかないと分かりました。はい、まとめます。
（ケースその１）２×５＋１×１＋３×０＝１１
（ケースその２）２×２＋１×４＋３×１＝１１（ケースその１）は簡単です。
×が１つだけで、その右に○が来ないようにすれば良いのだから最後に×を置くしかありません。
と言うことで
○○○○○×
となります。
（ケースその２）は×○の場所を１か所にして×を４個入れれば良いので次のような配列になります。
赤くなっている所が（決まり３）の場所です。
ここでも、一定の決まりで書き出していきます。
極端なものを作って、徐々に変えていくということです。（ここ、すご～く大事！）
まず○を２つつなげてしまえば良いですね。
×○○×××
××○○××
×××○○×
××××○○
次に先に１つ○を置いてしまうパターンを考えます。
○×○×××
○××○××
○×××○×
○××××○さあどうでしたか。
足し算だけでこんなにも色々な事が考えられるんですね。
他にも似たような書き出しの問題があちこちの学校で出ていました。
私が見た中では武蔵、栄東（東大選抜）など。
でも、桜蔭と開成のこの２問が一番すっきりしていました。
こうした問題に慣れるのに最適だと思います。
「解き方」をしっかり読んで自分でノートに実際に書き出していってみてください。
そうすると、こうした問題にどうアプローチしていけば良いのかが実感できるようになると思います。さて次は「数の性質」です。
この分野も出題校が多いですね。
函館ラサール中（東京会場）
１から５０までの５０個の数字をつないで、大きな数
123456789101112・・・・・484950を作りました。この大きな数を９で割った時の余りはいくらですか。
解き方
ある数が９で割り切れるかどうかは、各位の数字を足して、それが９で割れるかで判断できるというのは知っていると思います。
なぜでしょうか。
例えば、ある４桁の数ＡＢＣＤ（Ａ千Ｂ百Ｃ十Ｄ）というのがあったとします。
これはきちんと式で書くと、１０００×Ａ＋１００×Ｂ＋１０×Ｃ＋Ｄという数です。
この式は次のように変形できます。
９９９×Ａ＋Ａ＋９９×Ｂ＋Ｂ＋９×Ｃ＋Ｃ＋Ｄ
＝９９９×Ａ＋９９×Ｂ＋９×Ｃ＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ
＝９×（１１１×Ａ＋１１×Ｂ＋１×Ｃ）＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ
上の式をみると、最初に与えられた数は９の倍数に各位の数の和を足した形になっていると分かります。今は４桁の数を例にして説明しましたが、この変形は、もとの数が何桁だろうが同じように行うことができます。
だから、各位の数の和が９で割り切れれば、その数は必ず９で割り切れるのです。
すると、その和以外の部分は必ず９の倍数なのだから、その和の部分を９で割った余りがその数自体を９で割った余りと同じ数になるということも言えます。
ですから、この問題は、各位の数の和を求め、それを９で割った余りが答えとなるということになります。では、問題の数の各位の数の和はどうやって求めるか。
１～５０までの各位の数を下のように分類していきます。
まず書き出してみます。
１，２，３，４，５，６，７，８，９，
１０，１１，１２，１３，１４，１５，１６，１７，１８，１９，
２０，２１，２２，２３，２４，２５，２６，２７，２８，２９，
３０，３１，３２，３３，３４，３５，３６，３７，３８，３９，
４０，４１，４２，４３，４４，４５，４６，４７，４８，４９，
５０
分類していきます。
①１桁の数 （１～９）が１セット。
②２桁の数の一の位の数 （１～９）が４セット。
③２桁の数の十の位の数 （１～４）の各数１０個ずつが１セットと５。
以上を足してみます。まず大ざっぱに書きます。
（１～９）×（１＋４）・・・・・①と②の合計
（１～４）×１０＋５・・・・・③
きちんと式として計算していきましょう。
①と②の合計＝（１＋９）×９÷２×５＝１０×９÷２×５＝２５×９
③＝（１＋４）×４÷２×１０＋５＝１０５
この２つの数の合計を９で割った数の余りが答えです。ところが、①と②の合計はすでに９の倍数ですから、③の合計の１０５を９で割った余りが答えとなります。
ということで、１０５÷９＝１１・・・６ですから、答えは６です。
「数の性質」は大事な単元です。今年も各校で様々な出題がされるでしょう。
この解説をしっかり理解しておいてください。
次は「時計算」の多少変わった問題です。
那須高原海城中（東京会場）
太郎君の家の時計が、電池が切れて止まってしまい、正しい時間がわからなくなりました。太郎君は新しい電池を入れ、時間を予想して、時計を１１時５０分に合わせて、すぐに家を出て公園に向かって歩き出しました。公園に着くと同時に、公園の柱時計が１１時４２分をさしているのを確認すると、すぐに引き返し、行きと同じ道を同じ速さで歩いて家に向かいました。家に着いてすぐに時計を見ると、１２時１６分をさしていました。
公園の柱時計は正しく回っているものとして、次の問いに答えなさい。
（１） 家の時計を正しく合わせるためには、時計をさらに何分進ませるまたは遅らせる必要がありますか。
（２） 公園の柱時計が、１１時４９分をさしたとき、家の時計の長針と短針の間のせまい方の角は何度でしたか。
解き方
これは合っているかどうかというより、何分で正解できるかというレベルの問題かもしれません。
（１）公園までの往復には何分かかったか。
１２時１６分－１１時５０分＝２６分
だから、片道には１３分かかった。
すると家を出るときの正しい時刻は何時だったか。
１１時４２分－１３分＝１１時２９分
つまり、最初に１１時５０分に合わせた時、２１分進ませすぎていた。
だから、答えは、「２１分遅らせる」となります。（２）家の時計は２１分進んでいたのだから、公園の時計が１１時４９分の時、家の時計は何時を指しているか。
１１時４９分＋２１分＝１２時１０分
後はふつうの時計算の問題ですね。
詳しい解法は省略。
答えは５５度です。
◎当塾の指導方針は、とにかく分かりやすくと言うことです。それが個別指導の価値です。
◎また、様々な別解のストックもあります。お子さんに合う解法が示せると思います。
◎集団塾のフォローの場合は、なるべく集団塾で習ってきたやり方を生かすようにしますが、
場合によっては、こんな方法もあるよという形で、別解を指導することもあります。
（ただし、あくまでお子さんの力を伸ばすのが目的ですから、混乱させるようなことがないよう万全の配慮をします。）
