（２００５年入試の面白い問題とその解法を紹介します。） （２００５年１月２６日更新）
開智中
A君はりんごを１０個、B君はみかんを１０個買おうと思ってスーパーに行ったところ、どちらもお金が足りなくて９個ずつしか買えないことが分かりました。もし９個ずつ買ったなら、A君の残りのお金でみかんがちょうど２個買え、２人の残りのお金をあわせるとりんごがちょうど１個買えることに気がつきましたが、結局買わずに困っていました。
ちょうどそのとき、 りんごの安売りが始まって、りんごが１個９２円になったおかげで、２人のお金をあわせるとりんごとみかんがちょうど１０個ずつ買うことができました。
（１）りんごはいくら値下がりしましたか。
（２）A君、B君が持っていたお金はそれぞれいくらずつでしたか。
解き方（１例です。他の解法も考えられます。）
物の値段や個数といった自然数を扱う問題は、表や式にまとめると分かりやすくなります。
りんご１個の値段をリンゴ
みかん１個の値段をミカンとして、式を作ってみましょう。では、式を作り、解いていきます。
（１）
A君の所持金＝リンゴ×９＋ミカン×２
B君の所持金＝ミカン×９＋半端
また
リンゴ＝ミカン×２＋半端
すると
二人の所持金の和＝（ミカン×２＋半端）×９＋ミカン×２＋ミカン×９＋半端
整理すると
二人の所持金の和＝ミカン×２９＋半端×１０・・・・・（式ア）一方、値下げ後の関係から
二人の所持金の和＝９２円×１０＋ミカン×１０・・・・・（式イ）
式アと式イとから
ミカン×２９＋半端×１０＝ミカン×１０＋９２０円
＝の左右からミカン×１０を引くと
ミカン×１９＋半端×１０＝９２０円となる。
ここで、ミカンも半端もみな整数なので
ミカンは１０の倍数と分かる。
また、半端はミカンより小さい数である。
するとミカン＝４０しか当てはまらない。
半端は１６。
するとリンゴ＝４０×２＋１６＝９６
リンゴは値上がり前に９６円だったと分かる。
よって、答は９６−９２＝４円。
（２）
続いて（２）に行きます。
（１）が分かれば簡単ですね。
まずA君。
９６円×９個＋４０円×２個＝９４４円
次にB君。
４０円×９個＋１６円＝３７６円
一見取っつきにくい問題でしたが、式にまとめてみると文章で読んでいるだけより分かりやすくなると思います。
ほほえみを君の手に。
がんばろうね！
市川中
A組の生徒４５名とB組の生徒４０名と先生５名でプールに行きました。プールでは入場料、昼食代、レンタル浮き輪代がかかり、それぞれの代金を払った人数と支払い総額は下の表のようになりました。また、先生１人あたりの入場料は生徒１人あたりの入場料の２倍でしたが、昼食代は生徒と同じでした。このとき、生徒１人あたりの入場料を求めなさい。
| 入場者 | 昼食 | レンタル浮き輪 | 支払い総額 | |
| A組 |
４５名 |
４５名 | １０名 | ５７０００円 |
| B組 | ４０名 | ４０名 | １５名 | ５２５００円 |
| 先生 | ５名 | ５名 | ０名 | ８０００円 |
解き方（１例です。他の解法も考えられます。）
生徒の一人分の入場料を☆としてみます。
先生の一人分は☆☆とします。
また、昼食代は一人分を◇とします。
浮き輪代は◎。分かりやすいですね（笑）
これも、式を作ってみましょう。A組
☆×４５＋◇×４５＋◎×１０＝５７０００円・・・・・（式ア）
B組
☆×４０＋◇×４０＋◎×１５＝５２５００円・・・・・（式イ）
先生
☆☆×５＋◇×５＝８０００円・・・・・（式ウ）（式ア）と（式イ）の◎をそろえます。
（式ア）×３
☆×１３５＋◇×１３５＋◎×３０＝１７１０００円・・・・・（式エ）
（式イ）×２
☆×８０＋◇×８０＋◎×３０＝１０５０００円 ・・・・・（式オ）
（式オ）−（式エ）を計算して
☆×５５＋◇×５５＝６６０００円
これは（☆＋◇）の５５人分で６６０００円になると言うことなので、左右を５５で割る。
☆＋◇＝１２００円・・・・・ （式カ）一方、（式ウ）から
（☆☆＋◇）の５人分は８０００円なので、左右を５で割る。
☆☆＋◇＝１６００円・・・・・（式キ）（式カ）と（式キ）とを比べると
☆一つが差の４００円と分かる。
よって、答は４００円。
東大寺学園中
１から１１までの整数をすべてかけてできた数をNとします。
（１）Nを６でくり返し割ると何回割り切れることになりますか。
（２）（１）で最後に６で割り切れたときの商を、さらに６で割ると余りはいくらになりますか。
（３）Nの百の位の数字はいくらですか。
解き方（１例です。他の解法も考えられます。）
数の性質について、定番ともいえる問題のひとつです。普通は２とか、３で割れる回数を聞くものが多いのですが、ここでは６について聞かれています。でも、考え方は全く同じ。
（１）
６＝２×３
なので、Nの中に２と３がいくつ入っているかを数えます。
N＝１×２×３×４×５×６×７×８×９×１０×１１
＝１×２×３×２×２×５×２×３×７×２×２×２×３×３×２×５×１１
２は８個、３は４個入っています。
２×３は４組できます。
だからNは６で４回割り切ることが出来ます。
答え ４回（２）
２を４個、３を４個Nから取り除くと次のようになる。
１×５×７×２×２×２×２×５×１１
計算すると１０×１０×７×２×２×１１＝３０８００
これが「（１）で最後に６で割り切れたときの商」にあたるので
３０８００÷６＝５１３３・・・２
よって、答えは ２（３）
Nの百の位の数とは、Nを１００で割った商の一の位の数にあたる。
（１）と同じ考え方で、Nを１００で割るというのは、Nの式から
２と５を２個ずつ取り除いた数。
１×３×２×２×３×７×２×２×２×３×３×２×１１
これを計算しながら、一の位だけを考えていけばよい。
よって、答えは ８整数に関する問題はやはりよく出ますね。
別の学校でも面白い問題がありました。
立教新座中
１から１５までの整数の積から１から１５までの整数の和を引いた数を１５４で割ったときのあまりはいくつですか。
解き方（１例です。他の解法も考えられます。）
これは一見どこから手を付けて良いのか悩むような問題ですが、整数の性質を理解していれば簡単。
次の式を見て「ああなるほど」と思えれば充分。
「ええ何で？」という人は、もう一度倍数と約数や、素数の積で数を示すこと（素因数分解）とかをおさらいしておきましょう。
そして下の解法を見ながら線分図を書いてみましょう。１５４＝２×７×１１なので、「１から１５までの整数の積」は１５４で割りきれる。
また、「１から１５までの整数の和」＝（１＋１５）×１５÷２＝１２０
よって答は１５４−１２０＝３４
◎当塾の指導方針は、とにかく分かりやすくと言うことです。それが個別指導の価値です。
◎また、様々な別解のストックもあります。お子さんに合う解法が示せると思います。
◎集団塾のフォローの場合は、なるべく集団塾で習ってきたやり方を生かすようにしますが、
場合によっては、こんな方法もあるよという形で、別解を指導することもあります。
（ただし、あくまでお子さんの力を伸ばすのが目的ですから、混乱させるようなことがないよう万全の配慮をします。）
