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２００４年中学入試・興味深い問題 （算数）
（１月入試で面白い問題がありました。） （１月２７日更新）
市川中・〔５〕
下の図のように、白石と黒石がある規則にしたがって並んでいます。白石の３番目は全体の４番目で、全体の６番目は黒石の３番目です。このとき、次の問いに答えなさい。
○ ● ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ● ● ● ● ● ○ ○ ○ ○ ● ● ● ● ● ● ● ○
つづく
（１） 全体の５０番目は、何色の石の何番目ですか。
（２） 黒石の５０番目は、全体の何番目ですか。
解き方（１例です。他の解法も考えられます。）
必要な知識をまず確認しておきます。
（１）等差数列の和＝（初めの数＋終わりの数）×個数÷２
（２）N番目までの奇数の和＝N×Nでは実際に解いていきましょう。
石をグループ化して、順番を付け
下の様な表にしてみると分かりやすくなります。
さあ、どういう規則で並んでいるかはつかめましたか？
試しにA,B,Cにいくつが入るか、考えてみてください。
各行を横に見ていけばすぐに分かります。
Aは５。Bは９。Cはその合計の１４です。
（１）
さて、早速（１）から解いていきましょう。
全体の５０番目を考えるには、表の一番下「合計の個数」を見ていけばいいです。
初項２で、公差が３の等差数列ですね。
４番目までの合計は
２＋５＋８＋１１＝２６です。
５番目は１４（＝１１＋３）だから、２６＋１４で、５番目までの全体の合計は４０個。
次は６番目ですから、白が６個、黒が１１個ですね。
ところで、５番目までで全体が４０個ありますから、全体の５０番目は
次の白が６個でまだ４６個だから、その後さらに４個進んだ石になります。
黒は１１個並んでいますから、黒石と分かります。
そして、６番目の黒のグループの４個目ですね。
５番目までの黒石だけの合計は１番目から５番目までの奇数の和ですから５×５で２５個。
（このやり方を知らなくても、１＋３＋５＋７＋９で２５個と出せますね。）
すると、その後４個進んだ黒石ですから、黒色の２９番目と分かります。
（２）
続いて（２）に行きます。
黒石の個数の行を見ていきます。
７×７＝４９なので、７番目までの合計が４９個ですから、
黒石の５０番目は８番目の黒グループの１番目と分かります。
７番目までの全体の合計は７番目の「合計の個数」をまず求め、等差数列の和の公式で求めます。
２＋３×（７−１）＝２０ですから、７番目は２０。よって、合計は（２＋２０）×７÷２＝７７個。
８番目はまず白が８個並んでいます。その後の１個目ですから、
７７＋８＋１＝８６で、全体の８６番目と分かります。
一見取っつきにくい問題でしたが、数列の問題として、上のような表を作ってしまえば比較的解きやすいと思います。
現在１月２１日ですが、これから２月の入試を受けるなら、是非この解説を完全に理解してください。
（久保田實）
ほほえみを君の手に。
がんばろうね！
もう１題いきましょうか。
立教新座中・〔６〕
ある中学の１年生には、Ａ，Ｂ，Ｃの３クラスがあります。各クラスとも６つの班に分かれて、それぞれの教室と美術室の掃除をします。美術室の掃除は、Ａ組から順に交代で行います。下の表は、掃除当番表の一部です。次の問に答えなさい。
| 場所 | Ａ組 | Ｂ組 | Ｃ組 | |
| 第１日目 |
教室 |
１班 ２班 |
１班 | １班 |
| 第２日目 | 教室 美術室 |
３班 | ２班 ３班 |
２班 |
| 第３日目 | 教室 美術室 |
４班 | ４班 | ３班 ４班 |
| 第４日目 | 教室 美術室 |
５班 ６班 |
５班 | ５班 |
（１）Ａ組の第３班に、２回目の教室の掃除がまわってくるのは第何日目ですか。
（２）第１５日目までに、美術室の掃除をしないのは３クラスで合計何班ありますか。
（３）Ａ組の第４班に、２０回目の美術室の掃除がまわってくるのは第何日目ですか。
これは一見すごく面倒くさそうですが、続きを書いてみると意外と簡単な問題なんです。
そもそも（３）で２０回目なんて尋ねてますから、きっと何かの規則性があるに違いないと考えられますよね。
とにかく間違えずに続きを書いてみましょう。
この作業さえ正確にできれば（１）〜（３）ともスイスイと解けてしまいます。
これだけではいくらなんでも素っ気なさ過ぎますね。
もう少しヒントを出しておきましょう。
第９日目まで書き出せば充分です。（ヒント出し過ぎ？）
ついでに答えも書いておきます。
（１）第７日目 （２）９班 （３）第１７８日目
どうしても正解が出ない場合はメールで質問してください。
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◎また、様々な別解のストックもあります。お子さんに合う解法が示せると思います。
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場合によっては、こんな方法もあるよという形で、別解を指導することもあります。
（ただし、あくまでお子さんの力を伸ばすのが目的ですから、混乱させるようなことがないよう万全の配慮をします。）
